線性變換 - cincdx

線性變換#

線性變換是一種特殊的函數，它在向量空間中將向量映射到另一個向量，同時保持向量加法和標量乘法的操作不變。

線性變換 T 滿足以下兩個條件：

考慮一個函數 T，它將二維空間中的任何向量 v=(x,y) 映射到新的向量 T (v)=(2x,2y)。這個函數是一個線性變換，因為它滿足加法和標量乘法的保持性。幾何上，這個變換將平面上的所有點沿原點對稱擴大兩倍，即對每個點進行縮放。

在二維空間中，一個向量可以通過乘以一個特定的矩陣來實現圍繞原點的旋轉。將向量 v 圍繞原點逆時針旋轉 θ 度的線性變換可以表示為：

T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

這個變換是線性的，因為它保持了向量加法和標量乘法的操作。

投影變換是將三維空間中的向量 v=(x,y,z) 投影到 XY 平面的變換，可以表示為：

T(\mathbf{v}) = (x, y, 0)

這個變換忽略了每個點的 z 坐標，從而將點投影到 XY 平面上，也是一個線性變換。

線性變換

線性變換是數學中用於描述向量空間之間映射的一種方法。它通過一組規則（如 [[矩陣乘法]]）將一個向量從一個空間轉移到另一個空間，同時保持向量加法和標量乘法的特性。

相關知識或問題
[1] [[矩陣如何表示線性變換的複合？]]
[2] [[如何使用矩陣表示三維空間中的反射變換？]]
[3] [[矩陣表示的線性變換如何應用於圖像處理？]]