線形変換#
線形変換は、ベクトル空間内でベクトルを別のベクトルにマッピングする特殊な関数であり、同時にベクトルの加法とスカラー乗法の操作を保持します。
線形変換の基本的性質#
線形変換 T は以下の 2 つの条件を満たします:
- 加法保存性:T (u+v)=T (u)+T (v)
- スカラー乗法保存性:T (cv)=cT (v)
線形変換の例#
例 1: スケーリング変換#
関数 T を考えます。これは、2 次元空間内の任意のベクトル v=(x,y) を新しいベクトル T (v)=(2x,2y) にマッピングします。この関数は線形変換であり、加法とスカラー乗法の保存性を満たしています。幾何学的には、この変換は平面上のすべての点を原点を中心に対称に 2 倍に拡大し、つまり各点をスケーリングします。
例 2: 回転変換#
2 次元空間では、特定の行列を乗じることで原点を中心に回転することができます。原点を中心に反時計回りに θ 度回転するベクトル v の線形変換は次のように表されます:
この変換は線形であり、ベクトルの加法とスカラー乗法の操作を保持しています。
例 3: 投影変換#
投影変換は、3 次元空間のベクトル v=(x,y,z) を XY 平面に投影する変換であり、次のように表されます:
この変換は各点の z 座標を無視し、点を XY 平面に投影するため、線形変換です。
キーコンセプト#
線形変換
線形変換は、ベクトル空間間のマッピングを記述する数学的手法です。これは、[[行列乗算]] などのルールによって、1 つの空間から別の空間にベクトルを移動し、ベクトルの加法とスカラー乗法の特性を保持します。
関連する知識や質問
[1] [[行列で線形変換の合成を表現する方法は?]]
[2] [[3 次元空間で反射変換を行列で表現する方法は?]]
[3] [[行列表現の線形変換が画像処理にどのように適用されるか?]]