线性变换

线性变换是一种特殊的函数，它在向量空间中将向量映射到另一个向量，同时保持向量加法和标量乘法的操作不变。

线性变换的基本性质

线性变换 T 满足以下两个条件：

加法保持性：T (u+v)=T (u)+T (v)

标量乘法保持性：T (cv)=cT (v)

线性变换的示例

示例 1: 缩放变换

考虑一个函数 T，它将二维空间中的任何向量 v=(x,y) 映射到新的向量 T (v)=(2x,2y)。这个函数是一个线性变换，因为它满足加法和标量乘法的保持性。几何上，这个变换将平面上的所有点沿原点对称扩大两倍，即对每个点进行缩放。

示例 2: 旋转变换

在二维空间中，一个向量可以通过乘以一个特定的矩阵来实现围绕原点的旋转。将向量 v 围绕原点逆时针旋转 θ 度的线性变换可以表示为：

Copy T(v)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(xy)T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}T(v)=(cosθsinθ​−sinθcosθ​)(xy​)

这个变换是线性的，因为它保持了向量加法和标量乘法的操作。

示例 3: 投影变换

投影变换是将三维空间中的向量 v=(x,y,z) 投影到 XY 平面的变换，可以表示为：

Copy T(v)=(x,y,0)T(\mathbf{v}) = (x, y, 0)T(v)=(x,y,0)

这个变换忽略了每个点的 z 坐标，从而将点投影到 XY 平面上，也是一个线性变换。

Key Concept

线性变换

线性变换是数学中用于描述向量空间之间映射的一种方法。它通过一组规则（如 [[矩阵乘法]]）将一个向量从一个空间转移到另一个空间，同时保持向量加法和标量乘法的特性。

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